Difficile, surtout pour le côté "utilisable par les enfants qui pourront ainsi gérer eux-mêmes leur prêt" (sans vouloir être vexant, j'essaye d'imaginer des enfants de maternelle gérant eux-mêmes leurs prêts de livres). La gestion de bibliothèque étant relativement complexe, notamment l'aspect prêt, même avec un logiciel bien fait, il ne faut pas espérer trouver quelque chose qui fera tout tout seul.
Concernant le libre, il existe
PMB, qui est en PHP/MySQL (donc s'installe sur un serveur web, et est accessible via un navigateur web, c'est très simple à mettre en place surtout lorsqu'on a un réseau). Il est très complet, peut-être trop pour une bibliothèque de maternelle (quoique, ce sont des livres comme les autres après tout), mais en tout cas il permet de gérer le prêt (gestion des utilisateurs, des exemplaires multiples d'un même bouquin, etc.). En plus simple, on pourrait imaginer un gestionnaire de collection (type boîtes de camembert, photos, etc.), mais la fonction prêt n'y serait pas, donc on oublie.
Pour un travail propre, je pense qu'il est plus sage d'utiliser PMB et de se documenter sur son utilisation. Le site contient de bons tutos, PMB est destiné à devenir un standard dans l'Education Nationale, il est libre (licence CeCill), et marche sur toutes les plateformes...